je višestruka figura, čija je osnova poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.
Ako je osnova kvadrat, onda se piramida zove četvorougaona, ako je trougao – onda trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem– visina bočne strane, spuštena sa njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ovaj način izračunavanja se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.
Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve ivice baze jednake, obim petougla će biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide: 
Površina pravilne trouglaste piramide
Pravilna trouglasta piramida sastoji se od osnove u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake po površini.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje pomoću perimetra i apoteme, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.
Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu: 
Kako su u pravilnoj piramidi sve stranice iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbiru površina triju strana. odnosno: 
Područje skraćene piramide
Truncated Piramida je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme: 
Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dešavaju se različite vrste i oblike, što znači da će formula za proračun za geometrijske oblike biti drugačija.
Vrste figura
piramida - geometrijska figura , koji označava i predstavlja nekoliko lica. U suštini, ovo je isti poliedar, u čijem se dnu nalazi poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:
- ispravan;
- skraćeno.
U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.
U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je poprečni presjek formiran paralelno s bazom.
Uslovi i simboli
Ključni pojmovi:
- Pravilan (jednakostranični) trougao- figura sa tri jednaka ugla i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
- Vertex– najviša tačka na kojoj se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja se proteže od vrha do osnove piramide.
- Edge– jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za skraćenu piramidu.
- Odjeljak- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba ga brkati sa sekcijom, jer sekcija takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
- Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je takođe visina lica na kojoj se nalazi druga tačka visine. Ova definicija vrijedi samo u odnosu na pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trougla će postati apotema.
Formule površine
Pronađite bočnu površinu piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon s različitim stranama, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.
Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule u različitim slučajevima takođe će imati razlike.
U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve ispisati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunilo i zbunilo.
Osnovna formula za proračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:
S=½ Pa (P je obim baze i apotema)
Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Pošto je svih pet lica baze jednakih, možete je pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.
Bočna površina pravilne trouglaste piramide najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:
S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom ivicom od 8 cm Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.
Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, i apotema. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četvorougaoni lik dimenzije stranica osnova 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.
Ovdje prvo trebate pronaći perimetre baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.
Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ovi proračuni sa ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako i dalje trebate to učiniti, samo izračunajte površinu najveće baze poliedra i dodajte je površini bočne površine poliedra.
Video
Ovaj video će vam pomoći da konsolidujete informacije o tome kako pronaći bočnu površinu različitih piramida.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Tipični geometrijski problemi na ravni i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različitih figura. U ovom članku predstavljamo formulu za bočnu površinu pravilne četverokutne piramide.
Hajde da damo strogu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da imamo poligon sa n strana i n uglova. Odaberimo proizvoljnu tačku u prostoru koja neće biti u ravni navedenog n-ugla i spojimo je sa svakim vrhom poligona. Dobit ćemo figuru određene zapremine, koja se zove n-kutna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažemo kako izgleda petougaona piramida.
Dva važna elementa svake piramide su njena osnova (n-ugao) i njen vrh. Ovi elementi su međusobno povezani sa n trouglova, koji generalno nisu jednaki jedan drugom. Okomita koja se spušta od vrha do baze naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom centru (poklapa se sa centrom mase poligona), tada se takva piramida naziva prava linija. Ako je, pored ovog uslova, osnova pravilan poligon, onda se cijela piramida naziva pravilnom. Slika ispod prikazuje kako izgledaju pravilne piramide sa trouglastim, četverouglastim, peterokutnim i šesterokutnim osnovama.
Površina piramide
Prije nego što pređemo na pitanje bočne površine pravilne četverokutne piramide, trebali bismo se detaljnije zadržati na konceptu same površine.
Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida je formirana skupom lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n strana su trouglovi. Površina cijele figure je zbir površina svake strane.
Pogodno je proučavati površinu na primjeru razvoja figure. Razvoj pravilne četvorougaone piramide prikazan je na slikama ispod.
Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.
Ukupna površina svih trokuta koji čine stranice figure obično se naziva bočna površina. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četverougaonu piramidu.
Bočna površina četvorougaone pravilne piramide
Da bismo izračunali bočnu površinu naznačene figure, ponovo se okrećemo gore navedenom razvoju. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trougla ima osnovu dužine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kursa geometrije znamo da je površina S t trougla jednaka umnošku osnove i visine koju treba podijeliti na pola. To je:
Gdje je h b visina jednakokračnog trougla povučena do osnove a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje da se dobijeni izraz pomnoži sa 4 da bi se dobila površina S b bočne površine za dotičnu piramidu:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je ovo drugo poznato u većini problematičnih uslova, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračunavanje apoteme h b za dva slučaja:
- kada je poznata dužina bočnog rebra;
- kada je poznata visina piramide.
Ako dužinu bočne ivice (strane jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h b određena formulom:
h b = √(L2 - a2/4).
Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorine teoreme na trokut bočne površine.
Ako je visina h piramide poznata, onda se apotema h b može izračunati na sljedeći način:
Također nije teško dobiti ovaj izraz ako uzmemo u obzir pravokutni trokut unutar piramide, formiran od krakova h i a/2 i hipotenuze h b.
Pokažimo kako primijeniti ove formule rješavanjem dva zanimljiva problema.
Problem sa poznatom površinom
Poznato je da je bočna površina pravilne četvorougaone piramide 108 cm2. Potrebno je izračunati dužinu njene apoteme h b ako je visina piramide 7 cm.
Napišimo formulu za površinu S b bočne površine u smislu visine. Imamo:
S b = 2*√(h2 + a2/4) *a.
Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b. Kvadirajmo obje strane jednadžbe:
Da bismo pronašli vrijednost a, vršimo promjenu varijabli:
t2 + 4*h2*t - S b 2 = 0.
Sada zamjenjujemo poznate vrijednosti i rješavamo kvadratnu jednačinu:
t2 + 196*t – 11664 = 0.
Zapisali smo samo pozitivan korijen ove jednačine. Tada će stranice osnove piramide biti jednake:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Da biste dobili dužinu apoteme, samo koristite formulu:
h b = √(h2 + a2/4) = √(72 + 6,9162/4) ≈ 7,808 cm.
Bočna površina Keopsove piramide
Odredimo vrijednost bočne površine za najveću Egipatska piramida. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa dužinom stranice od 230.363 metara. Visina konstrukcije je prvobitno bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b, dobićemo:
S b = 2*√(h2 + a2/4) *a = 2*√(146,52+230,3632/4)*230,363 ≈ 85860 m2.
Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 fudbalskih terena.
Bočna površina pravilne četverokutne piramide: formule i primjeri problema - sve o putovanju do lokacije
Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija sa bočnim stranama jasna, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći površinu osnove piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili nepravilna figura. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce, postoje samo zadaci s tačnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilan trougao
Odnosno, jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:
S = (a 2 * √3) / 4.
Square
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni regularni n-ugao
Strana poligona ima istu notaciju. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?
Pošto je osnova pravilna figura, sva lica piramide su jednaka. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S = ½ P*A, gdje je P obim osnove piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njena osnova ima stranu 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.
Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3*4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Za trougao u osnovi dobijate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovori. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina donje strane je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, njegova osnova je kvadrat. Kada znate površinu baze i bočnih strana, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.
Prvi proračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete prilikom izračunavanja konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo komplikovaniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorine teoreme i razmotriti da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Tražena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je jednaka √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovori. 96 cm 2.
Problem br. 4
Stanje. Navedena je ispravna strana, stranice njene osnove su 22 mm, bočne ivice su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.
Prije svega, osnovna površina se izračunava korištenjem gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati polu-perimetar jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm Ostaje samo da pomoću Heronove formule izračunate površinu svakog takvog trokuta, a zatim je pomnožite sa šest i dodate onom dobijenom za osnovu.
Proračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovori. Osnova je 726√3 cm2, bočna površina je 3960 cm2, ukupna površina je 5217 cm2.
